Órbitas, curvas y trayectorias: las secciones cónicas.
Material de estudio (La parábola)
Saberes básicos asociados
Relaciones de objetos geométricos en el plano: representación y exploración con ayuda de herramientas digitales (la parábola).
Resolución de problemas relativos a objetos geométricos en el plano representados con coordenadas cartesianas.
Representación de objetos geométricos en el plano mediante herramientas digitales u otras herramientas.
Modelización de la posición y el movimiento de un objeto en el plano mediante vectores.
Cálculo de longitudes y medidas angulares: uso de la trigonometría.
Utilización de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, fórmulas trigonométricas y teoremas en la resolución de problemas.
La parábola
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ que están a la misma distancia de una recta fija $d$, llamada directriz y de un punto fijo (no perteneciente a dicha recta), llamado foco, $F$.
La parabola. Sección Cónica.
En la imagen podemos observar como se obtiene una parábola con la intersección de un plano paralelo a la generatriz del doble cono y el propio cono. Para obtener las ecuaciones de la parábola debemos guiarnos por la definición del primer parrafo.
La parábola como lugar geométrico.
En esta imagen puedes observar como cualquier punto $P(x,y)$ de la parábola esta a la misma distancia de la recta directriz y de su foco. También puedes observar el vértice de la parábola (es el punto medio entre el foco y la directriz, denotado por $V$, designamos por $p$, a la distancia entre el foco y la directriz. La parábola de la imagen anterior es una parábola inclinada. En este estudio matemático nos vamos a centrar en encontrar las ecuaciones de parábolas verticales y horizontales, suficientes para nuestro estudio. Si tomamos como eje Y el eje de simetría de la parábola, situamos el vértice en el punto $(0,0)$ y tomamos el eje X paralelo a la recta directriz (pasando por el vértice $(0,0)$). Tendremos la siguiente situación:
Parábola vertical
De esta forma podemos establecer:
$$\begin{array}{lll} d (P, F) & = & \sqrt{x^2 + \left( y - \frac{p}{2} \right)^2}\\ d (P, d) & = & \frac{\left| y + \frac{p}{2} \right|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = y +\frac{p}{2}\end{array}$$
y de aqui, igualando y elevando al cuadrado ambos miembros:
$$\begin{array}{rll} \left( \sqrt{x^2 + \left( y - \frac{p}{2} \right)^2} \right)^2 & = & \left( y + \frac{p}{2} \right)^2\\ x^2 + y^2 - p y + p^2 & = & y^2 + y p + p^2\\ x^2 + y^2 - y^2 - p y - p y + p^2 - p^2 & = & 0\\ x^2 - 2 p y & = & 0\\ y & = & \frac{x^2}{2 p}\end{array}$$
Esto quiere decir que sabiendo el foco de una parábola vertical, con vértice en el origen podemos escribir inmediatamente su ecuación. De forma simétrica, si la parabola es horizontal con vértice en el origen y foco en $F(p/2,0)$. De forma análoga su ecuación resultará del intercambio de las variables $x$ e $y$, $x=\dfrac{y^2}{2p}$.
