Como puedes ver en la imagen de la derecha, para obtener una elipse el plano que corta al cono el ángulo de inclinación ha de cumplir que $\alpha < \beta < 90^{\circ}$, si la inclinación llega a ser de 90 grados lo que obtendríamos sería una circunferencia.
Una elipse también puede definirse como un lugar geométrico (como todas las secciónes cónicas). Esta definición es la mejor para poder determinar sus ecuaciones.
Definición de la elipse
Una elipse está formada por todos los puntos $P ( x , y)$ del plano, tales que la suma de las distancias de $P$ a dos puntos fijos (llamados focos, $F_1$ y $F_2$) es un número positivo constante.
Para el estudio matemático de la elipse nos vamos a centrar en elipses verticales y horizontales (no como las de la imagen anterior, que está inclinada). De cara a las tareas que tendrás que realizar es más que suficiente.
Lo primero es nombrar cada uno de los elementos importantes de una elipse.
Elementos de una elipse
Elaboración propia. Elementos de una elipse(CC BY-SA)
La gráfica de una elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo es llamado eje mayor; los focos de la elipse están sobre el eje mayor. El eje más corto es llamado eje menor. La longitud del eje mayor se denota por 2a , mientras que la longitud del eje menor se denota por 2b . El semieje mayor es la mitad del eje mayor y tiene una longitud de a y el semieje menor es la mitad del eje menor y tiene longitud b. El centro de la elipse es el punto medio del eje mayor. Los puntos extremos de los ejes son los vértices de la elipse. Consideremos el punto $B(a,0)$, sobre el eje OX, uno de los vértices de la elipse horizontal con centro en el origen de coordenadas. Consideremos los focos $F_1(-c,0)$ y $F_2(c,0)$. La distancia de $F_1$ a $B$ es $a+c$, y la distancia de $F_2$ a $B$ es $a-c$. Observa lo que decimos en la siguiente imagen.
Valor de la constante.
Elaboración propia. Suma de distancias a los focos.(CC BY-SA)
Según la definición de la elipse la suma de distancias desde cualquier punto hasta los focos ha de ser un número constante, según lo que hemos visto si sumamos las distancias desde el vértice B, hasta cada uno de los focos obtenemos:
$$d (B, F_1) + d (B, F_2) = (a + c) + (a - c) = 2 a$$
Esta es la constante a la que se refiere la definición, que coincide con la longitud del eje mayor.
Ecuación de una elipse horizontal con centro en el origen.
Para obtener una ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen considere la siguiente figura en donde $P ( x , y)$ es un punto de la elipse. Utilizando la definición de elipse se tiene:
Ecuación de la elipse.
Elaboración propia. Ecuación de la elipse(CC BY-SA)
Veamos ahora detenidamente la expresión $(a^2-c^2)$, observando la siguiente imagen.
Relación entre $a$, $b$ y $c$
Elaboración propia. Relación entre $a$, $b$ y $c$(CC BY-SA)
entonces $a^2-c^2=b^2$, gracias al teorema de Pitágoras y al triángulo rectángulo que puedes ver en la figura anterior. Sustituimos y dividimos ambos miembros por $a^2b^2$
Esta es la ecuación estándar de una elipse horizontal con centro en el origen y donde $a>b$ y se verifica que $c^2=a^2-b^2$. En esta elipse tenemos que:
Elementos de la elipse.
Elaboración propia. Tabla de elementos de la elipse.(CC BY-SA)
Elipse vertical
Si la elipse tiene su eje mayor vertical, a lo largo del eje OY, con el centro también en el origen tendremos la siguiente situación:
En este caso para obtener la ecuación estandar solo tendríamos que proceder intercambiando $x$ por $y$. El razonamiento es totalmente simétrico, con lo que al finalizar obtendríamos la ecuación:
$$\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$$
Elipses horizontales o verticales con centro en cualquier punto.
Si la elipse horizontal (o vertical) tiene su centro en cualquier punto del plano, su ecuación es prácticamente idéntica. Lo que hacemos es trasladar el origen de coordenadas al punto que ahora es el centro de tal forma que si el centro de nuestra elipse está en las coordenadas $V(h,k)$, restando $h$ a la variable $x$ y $k$ a la variable $y$, al realizar los cálculos con esta traslación obtendremos la ecuación:
En el dibujo, un cuerpo orbita alrededor de otro más grande (como un planeta alrededor del Sol) describiendo una órbita elíptica. El mayor estará localizado en uno de los focos de la elipse.
Los puntos notables son aquellos que se describen como únicos y característicos de la trayectoria; de esta forma se tiene:
Periapsis, o lugar más cercano de la trayectoria al cuerpo central (en el caso de la Tierra, se denomina perigeo, y respecto al Sol se denomina también perihelio).
Apoapsis, o al contrario que el periapsis, es el lugar más alejado de la trayectoria (se denomina también apogeo en el caso de la Tierra y afelio en el caso del Sol).
Velocidad
Bajo las suposiciones estándar en astrodinámica la velocidad orbital () de un cuerpo que describe una trayectoria sobre una órbita elíptica se puede calcular como:
Donde:
es un parámetro gravitacional estándar, $\mu=G\cdot M$, donde G es la constante gravitacional universal y M la masa del cuerpo situado en el foco de la elipse.
es la distancia radial desde el cuerpo orbitante al cuerpo central,
La velocidad no depende de la excentricidad pero se puede determinar por la longitud del semi-eje mayor (),
La ecuación de la velocidad es muy similar a la obtenida en las trayectorias hiperbólicas, con la diferencia de que la expresión para es positiva.
Periodo orbital
Bajo las suposiciones estándar en astrodinámica el periodo orbital () de un cuerpo que viaja sobre una trayectoria elíptica puede ser calculado mediante la siguiente fórmula:
Donde:
es un parámetro gravitacional estándar, $\mu=G\cdot M$, donde G es la constante gravitacional universal y M la masa del cuerpo situado en el foco de la elipse.
