Identificación y justificación de máximos y mínimos en funciones económicas
1. Objetivos de la ficha
Al finalizar esta ficha, el alumnado será capaz de:
- Comprender la derivada como tasa de variación marginal.
- Interpretar el signo de la derivada en escenarios de precios y beneficios.
- Anticipar tendencias económicas a partir del análisis de derivadas.
- Traducir resultados matemáticos en recomendaciones estratégicas.
2. Desarrollo teórico
2.1. Derivada como tasa de variación marginal
Sea una función de beneficios B(p), donde p es el precio de venta de un producto:
B'(p) = tasa de variación del beneficio respecto al precio.
Si B'(p) > 0 → aumentar el precio incrementa el beneficio.
Si B'(p) < 0 → aumentar el precio reduce el beneficio.
Si B'(p) = 0 → posible máximo o mínimo del beneficio.
2.2. Interpretación gráfica
- La derivada positiva indica crecimiento de la magnitud (beneficio) con el cambio de precio.
- La derivada negativa indica decrecimiento.
- Ceros de la derivada indican puntos críticos (máximos o mínimos locales).
2.3. Ejemplos
Ejemplo 1: Beneficio según precio
\(B(p) = -5p^2 + 200p - 1000\)
\(B'(p) = -10p + 200\)
Estudio del signo:
\(B'(p) > 0 ⇒ p < 20\)
\(B'(p) < 0 ⇒ p > 20\)
Interpretación económica:
- Beneficio aumenta si el precio es menor a 20.
- Beneficio disminuye si el precio supera 20.
- Precio óptimo p = 20 unidades monetarias.
Ejemplo 2: Ingreso marginal
\(I(p) = 300p - 4p^2\)
\(I'(p) = 300 - 8p\)
\(I'(p) > 0 ⇒ p < 37.5\)
\(I'(p) < 0 ⇒ p > 37.5\)
Interpretación:
Hasta p = 37.5, el ingreso crece.
A partir de p = 37.5, el ingreso disminuye.
3. Aplicación directa a la Tarea 2
Este saber permite anticipar cómo modificar precios afecta los beneficios e ingresos, generar escenarios y fundamentar decisiones estratégicas.