7. Logaritmos

1. LOGARITMOS - inicio

Resolver ecuaciones si la incógnita está en la base de una potencia

Si tenemos la incógnita en la base, debemos usar la raíz n-ésima, de manera que:

$ \ x^2 = 36 \ $, es igual a, $ \ x=\sqrt {36} \ $,

y $ \ x^5 = 42 \ $ , es igual a, $ \ x= \sqrt[5] {42} \ $

Resolver ecuaciones si la incógnita está en el exponente de una potencia

¿Qué ocurre si la incógnita está en el exponente de la potencia?

Por ejemplo: $ \ 2^x = 56 \ $, ¿Cómo calcularíamos la incógnita? Se hace necesaria una "herramienta" matemática que permita encontrar la solución, ¿sabes cuál?

Te doy unas pistas : empieza por lo y acaba por ritmo, pues sí LOGARITMO

Inicio a los LOGARITMOS

"Napier acuñó el término para logaritmo en latín medio, logarithmus , que literalmente significa ' número-razón ' , derivado del griego logos ' proporción, razón, palabra ' + arithmos ' número ' "

Volvamos a la ecuación anterior: $ \ 2^x = 56 \ $, pues x = $ \log_{2} {56}\ $

Regla de oro de los LOGARITMOS

REGLA DE ORO DE LOS LOGARITMOS

$ \log_{a}{P}= x \Leftrightarrow a^x = P \ $

Que relaciona el concepto para ti nuevo de los logaritmos con el concepto para ti conocido de las expresiones exponenciales

Así que:

$ \log_{5}{25}= 2 \Leftrightarrow 5^2 = 25 \ $

$ \log_{2}{8}= 3 \Leftrightarrow 2^3 = 8 \ $

2. Vídeos explicativos del inicio de los logaritmos

Aquí puedes ver un par de vídeos aclaratorios:

Vídeo de elaboración propia. Logaritmos definición (CC BY-NC-SA)

Vídeo de elaboración propia. Logaritmos (CC BY-NC-SA)

Y tienes un vídeo de un avatar, Mila, que te hace una breve introducción de los logaritmos:

Vídeo de elaboración propia con Vidnoz. Logaritmos, inicio (Términos de Servicio Vidnoz)

3. LOGARITMOS - cálculos mentales

$ \ log_{2}{8} = 3 \ porque \ 2^3 = 8 \ $

$ \ log_{5} \cfrac{1}{25} = -2 \ porque \ 5^{(-2)} = \cfrac{1}{25} \ $

$ \ log_{3}{81} = 4 \ porque \ 3^4 = 81 \ $

4. LOGARITMOS - propiedades

Hay varias propiedades que se pueden razonar fácilmente conociendo las propiedades de las potencias:

1. $ \ log_{a}{a} = 1 \ $ pues $ \ a^1 = a, \forall {a} \in \mathbb{R} \ $

2. $ \ log_{a}{1} = 0 \ $ pues $ \ a^0 = 1, \forall {a} \in\mathbb{R}\ $

3. $ \ log_{a}{a^n} = n \ $ por la definición de logaritmo, $ \forall {a} \in\mathbb{R}\ $

4. $ \ log_{a}{\left(P·Q\right)} = log_{a}{P}+ log_{a}{Q} \ $ $ \forall {a,P,Q}\in\mathbb{R}\ $

5. $ \ log_{a}{\left( \cfrac{P}{Q} \right)} = log_{a}{P}- log_{a}{Q}\ $ $ \forall {a,P,Q}\in\mathbb{R}\ $

6. $ \ log_{a}{P^n} = n·log_{a}{P} \ $ $ \forall {a} \in\mathbb{R}\ $

7. $ \ log_{a}{\sqrt[n]{P}}=\cfrac{\log_{a}{P}}{n} \ $ $ \forall {a} \in\mathbb{R}\ $

8. $ \ log_{a}{P}=\cfrac{\log_{b}{P}}{\log_{b}{a}} \ $ $ \forall {a,b,P} \in\mathbb{R}\ $

9. $ \ a^{log_{a} P}=P $ $ \forall {a,b,P} \in\mathbb{R}\ $

5. Hazlo aquí

Durante el vídeo se te plantearán una serie de preguntas, responde seleccionando la respuesta que creas correcta.

com/watch?v=m5qBf1qJjEo?si=jxFmJg5XUF_xytjW

Vídeo de Matemáticas profe Alex. Propiedades de los logaritmos | Logaritmo de un Producto (Licencia estándar de YouTube)

6. Nivel 1: Conceptos básicos

Enunciados

1. Calcula los siguientes logaritmos:
$\log_{10}(100) $
$\log_{2}(8) $
$\log_{5}(1) $
$\log_{7}(49) $

2. Resuelve la ecuación:
$\log_{3}(x) = 2 $
$\log_{10}(x) = -1 $

Solución

$\log_{10}(100) = 2 \ ( Porque \ 10^2 = 100) $
$\log_{2}(8) = 3 \ ( Porque \ 2^3 = 8) $
$\log_{5}(1) = 0\ ( Porque \ 5^0 = 1) $
$\log_{7}(49) = 2 \ ( Porque \ 7^2 = 49) $

$\log_{3}(x) = 2 \Rightarrow 3^2 = x \Rightarrow x=9 $
$\log_{10}(x) = -1 \Rightarrow 10^{-1} = x \Rightarrow x=0.1 $

7. Nivel 2: propiedades

Enunciados

3. Simplifica las siguientes expresiones usando propiedades de los logaritmos:
$\log_{2}(32) + \log_{2}(4) $
$\log_{5}(125) - \log_{5}(25) $
$3\log_{3}(x) - \log_{3}(x^2) $

4. Resuelve la ecuación:
$ \log_{2}(x) + \log_{2}(x-2) = 3 $

Solución

Soluciones - Nivel 2

3.
$\log_{2}(32) + \log_{2}(4) = \log_{2}(32 \cdot 4) = \log_{2}(128) = 7\ (Porque\ 2^7 = 128) $
$\log_{5}(125) - \log_{5}(25) = \log_{5}\left(\frac{125}{25}\right) = \log_{5}(5) = 1 $
$3\log_{3}(x) - \log_{3}(x^2) = \log_{3}(x^3) - \log_{3}(x^2) = \log_{3}\left(\frac{x^3}{x^2}\right) = \log_{3}(x) $

$\log_{2}(x) + \log_{2}(x-2) = 3:$

Usamos $\log_{2}(x) + \log_{2}(x-2) = \log_{2}[x(x-2)] $,
$\log_{2}[x^2 - 2x] = 3 \Rightarrow $, $x^2 - 2x = 2^3 = 8$
$x^2 - 2x - 8 = 0 $ , se resuelve la ecuación de segundo grado

$ x=4 $ y $ x= - 2 $ , pero se descarta el valor negativo porque nunca puede ser negativo ni cero el argumento de un logaritmo.

Hay que recordar que en la ecuación $\log_{2}(x) + \log_{2}(x-2) = 3:$ tenemos el término $ \log_{2}\bbox[yellow]{(x-2)} $ y con $x=-2$ resultaría negativo

8. Logaritmos con bases distintas y ecuaciones avanzadas

Enunciado

5. Simplifica y evalúa:

a. $\log_{6}(36) \cdot \log_{36}(6)$
b. $\cfrac{\log_{3}(81)}{\log_{9}(27)}$

6. Resuelve las ecuaciones:

a. $\log_{4}(x) = 2\log_{4}(3)$
b. $\log_{2}(x) = \log_{2}(x^2) + 1 $

Solución

a. $\log_{6}(36) \cdot \log_{36}(6) = \log_{6}(6^2) \cdot \frac{1}{\log_{6}(36)} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
b. $\frac{\log_{3}(81)}{\log_{9}(27)} = \frac{\log_{3}(3^4)}{\log_{9}(3^3)} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3}$.

a. $\log_{4}(x) = 2\log_{4}(3)$:

Usamos $\log_{4}(x) = \log_{4}(3^2) = \log_{4}(9)$, por lo que $x=9$

b. $\log_{2}(2x) = \log_{2}(x^2) + 1$:

Usamos $log_{2}(2)+log_{2}(x) = 2log_{2}(x)+1 \Rightarrow 1+log_{2}(x)=2log_{2}(x)+1 \Rightarrow log_{2}(x)=0 \Rightarrow x=1$

9. Practica con las propiedades

Enunciado

7. Si el $ \log_{5}(A) = 1'8 $ y el $ \log_{5}(B) = 2'4 $, calcula, usando las propiedades de los logaritmos: $ \log_{5}(125AB^2) $

Solución

$ \log_{5}(125AB^2) $ =

$ =\log_{5}(125) + \log_{5}(A) + \log_{5}(B^2) =$

$ =\log_{5}(5^3) + \log_{5}(A) + \log_{5}(B^2) =$

$ =3\log_{5}(5) + \log_{5}(A) + 2\log_{5}(B) =$

$ =3 \cdot 1 + 1`8 +2\cdot 2`4 = 3 + 1`8 + 4`8 = 9`6 $

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