1. Sumas y restas
Solamente se podrán sumar/restar radicales que tengan el mismo radical.
MT1 - Situación de aprendizaje 1.1: Aritmética, Álgebra y Geometría: Vivir con el Recre, presupuestando sueños
6.2 Operaciones
2. Productos y divisiones
Para multiplicar los radicales, si tienen el mismo índice se pueden multiplicar los radicandos .
Si tienen distinto índice, previamente deberemos usar el mcm de los índices para el índice común.
Para dividir, será similar.
3. Racionalización
Cuando tenemos una fracción donde el denominador es un radical, necesitamos expresar dicha fracción con otra equivalente donde el denominador sea un número entero. Este proceso se llama racionalización.
4. Practica
4. Combina y simplifica radicales:
a) $2\sqrt{12} + 3\sqrt{27}$
b) $5\sqrt{200x^2} - 4\sqrt{50x^2}$
c) $3\sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{54}$
Solución
a)$\sqrt{12} + 3\sqrt{27} = 2\cdot 2\sqrt{3} + 3\cdot 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 13\sqrt{3}$
b)$5\sqrt{200x^2} - 4\sqrt{50x^2} = 5\cdot10x\sqrt{2} - 4\cdot5x\sqrt{2} = 50x\sqrt{2} - 20x\sqrt{2} = 30x\sqrt{2}$
c)$3\sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2^4} + 2\sqrt[3]{3^3\cdot2} =3\cdot2\sqrt[3]{2} + 2\cdot3\sqrt[3]{2}=$
$=6\sqrt[3]{2}+6\sqrt[3]{2}=12\sqrt[3]{2}$
5. Practica
5. Reescribe en forma exponencial y luego simplifica:
a) $\sqrt{x^6}$
b) $\sqrt[3]{x^{15}}$
c) $\sqrt[4]{a^{20}b^{16}}$
d) $\sqrt[5]{c^{25}d^{10}}$
Solución
a)$\sqrt{x^6} = x^{6/2} = x^3$
b)$\sqrt[3]{x^{15}} = x^{15/3} = x^5$
c)$\sqrt[4]{a^{20}b^{16}} = a^{20/4}b^{16/4} = a^5b^4$
d)$\sqrt[5]{c^{25}d^{10}} = c^{25/5}d^{10/5} = c^5d^2$
6. Practica
6. Simplifica y realiza las operaciones:
a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{8}$
b) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{375}$
c) $\sqrt[4]{108} \cdot \sqrt[4]{12}$
d) $\sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{8}$
Solución
a)$\sqrt{18} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{18 \cdot 8} = \sqrt{144} = 12$
b)$\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{9 \cdot 375} = \sqrt[3]{3^2\cdot3\cdot5^3} =\sqrt[3]{3^3\cdot5^3}=\sqrt[3]{15^3}= 15$
c)$\sqrt[4]{108} \cdot \sqrt[4]{12} = \sqrt[4]{1296} = 6$
d)$\sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{8} = -4 + 2 = -2$
7. Practica
7. Expresa en términos simples y racionaliza si es necesario:
a) $\cfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$
b) $\cfrac{\sqrt{27x^3}}{\sqrt{3x}}$
c) $\cfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$
d) $\cfrac{\sqrt[4]{81a^8}}{\sqrt[4]{a^4}}$
Solución
a)$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$
b)$\frac{\sqrt{27x^3}}{\sqrt{3x}} = \frac{3x\sqrt{3x}}{\sqrt{3x}} = 3x$
c)$\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{54}{2}} = \sqrt[3]{27} = 3$
d)$\frac{\sqrt[4]{81a^8}}{\sqrt[4]{a^4}} = \frac{3a^2}{a} = 3a$
8. Practica
8. Racionaliza el denominador:
a) $\cfrac{1}{\sqrt{5}}$
b) $\cfrac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$
c) $\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$
Solución
a)$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
b)$\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$
c)$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{ 5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$
9. Practica
9. Simplifica expresiones radicales más complejas:
a) $\sqrt{72} + 3\sqrt{18} - \sqrt{50}$
b) $\sqrt{x^3 + 2x^2} + \sqrt{x^3 - 2x^2}$
c) $\cfrac{\sqrt{27x^3y^2}}{3\sqrt{3x}}$
d) $\cfrac{\sqrt[4]{81a^{16}b^{8}}}{\sqrt{a^4b^2}} $
Solución
a)$\sqrt{72} + 3\sqrt{18} - \sqrt{50} = 6\sqrt{2} + 9\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$
b)$\sqrt{x^3 + 2x^2} + \sqrt{x^3 - 2x^2} = \sqrt{x^2(x + 2)} + \sqrt{x^2(x - 2)}= x\sqrt{(x + 2)} + x\sqrt{(x - 2)} $
c)$\frac{\sqrt{27x^3y^2}}{3\sqrt{3x}} = \frac{3xy\sqrt{3x}}{3\sqrt{3x}} = \frac{xy\sqrt{3x}}{\sqrt{3x}} = xy$
d)$\frac{\sqrt[4]{81a^{16}b^{8}}}{\sqrt{a^4b^2}} = \frac{3a^4b^2}{a^2b} = 3a^2b$
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